第4章      変化の世界

 

4-1      バクテリア探検隊                                        

参考『数 学の秘かな愉しみ』KC・コール

まずバクテリアの国の、ごくふつうの大きさのバクテリアコロニーを想像してみよう。

新しいコロニーを築くため出かけていったバクテリアどもが、地に埋もれたコカコーラの空 き瓶を見つけ、さっそく掘り返してその中に落ち着いた。このコロニーを作った2個の勇ましいバクテリアの探検者から始まり、1分ごとにその個体群が倍増す る。それが午前11時に始まり、正午までにはその瓶は満員になり、場所も資源もすっかり底をつくはずだ。

さてここでもっとも先見の明のあるバクテリアが、人口(?)過剰の問題がそこまで迫っ ているのに気づくのは、いったい何時頃だろう?

「まず絶対に1158分より前ということはない」

というのが彼の答えだ。なぜなら その時点ではバクテリア群は、まだ瓶の[    ]にしか達していないからだ。(つまり一杯になるまであと[    ]回倍増の余地がある。)1159分になってすらまだ瓶の[     ]にしかなっていない。

「おいみんな、何も心配することはないぞ!何せ我がコロニーの全歴史を通じて使ってきた 総面積より、ずっと広い面積がまだ残っているんだからな!」

というバクテリア政治家の決まり 文句が聞こえてきた。

それはともかく、一同はもっと他にもコカコーラの瓶を探しに行くことに決めた。そして3個も見つけたのである。

「うわっ、こりゃありがたい!」

ところでこのバクテリア集団が、またも空間を使い果たすには、いったい何時間かかるだろ う?

 

     目 標

(1)バクテリアの増える様子をとらえ、それを表現することができる

(2)『ふしぎなたね』の増える様子をとらえ、それを表現することができる

(3)現実の世界の現象と対比させることができる

 

     課 題

(1)バクテリアが増える様子を表現しよう

(2)新しい3つのコカコーラの瓶で、バクテリア達はどれだけの時間を過ごせるか?

(3)『ふしぎなたね』が増える様子を表現しよう

(4)『ふしぎなたね』と現実の世界が似ているものを探そう

(5)まとめ・感想



4-1 バクテリア探検隊(みんなの考察)

課題(1)バクテリア の増える様子を表す

・(下の表より)バクテリアの数  n分 →

0

1

2

3

4

5

2

2*2

(2*2)*2

(2*2*2)*2

(2*2*2*2)*2

(2*2*2*2*2)*2

     21分後)41分後)81分後)16 → (経過した時間(分)だけ2をかける)

     n分後の数)=n-1分の数)+

     EXCEL A1=2*1 A2=A1*2 …(コピー)[I]

 

課題(2)バクテリア 探検隊。コーラ瓶3本で?

     A,B,C,Dの瓶がある。Aの瓶に4分の1が残り、残り4分の3はそれぞれB,C,Dに分かれて入る。…1分。各瓶まで半分まで増える…2分。各瓶一杯になる…3分。

     正 午の時点で満杯だとする。A一杯。A2倍になってB,Cになって、B,C2倍になってDの部分と半分残る。よって、3つが満杯。よって12130

     正 午に一杯になるとすると、58分の時点では、まだ瓶の4分の1しか達していない。59分の時点では、まだ瓶の2分の1にしか達していない。12:01には新しい瓶が一杯になる。12:02には4つの瓶すべてが一杯になる。[II]

     1分で数が2倍になるので、はじめは瓶一杯にバクテリアがいるので、1分後の121分には2倍になって2つ目の瓶がうまる。そして、そ の1分 後の122分になって3つ目の瓶がうまる。あと1つの瓶が入る分だけのバクテリ アが外に出てしまう。122分にいっぱいになる。そして、1分ごとにバクテリアが倍増していくので、30秒で増殖することはないと思 います。122分だと思いました。

     1本目…全員入る 2本目…121分 3本目…12130

     今 いるバクテリア1分後になり、すでに1瓶うまり、2分後4瓶分のバクテリアが生まれる。よって、3瓶うまるのは、12130[III]

 

課題(3)ふしぎなた ねの増える様子を表す

     (前 の年にうめた数)×2=(次の年にとれた数)

     2*1-11個うめて1個食べる)。2x-1x個うめて1個食べる)

     2,4,8,16,32 ここまではバクテリアと同じ。

     (-1)×2

    

 

課題(4)よく似たも のを探す


     投 資。ハイリスクが伴って、収入も一定じゃない。高利貸し。これは最初からかなりお金が必要だし、お金が絶対返ってくるわけじゃない。

     家 族。生き物はどんどん増えていく

     細 胞分裂。木の枝

     あ さがおの種子→朝顔に限らず、植物の種は3つか4つまくだけで、50以上の花を咲かせます。チューリップなどの球根は1つの花で1つしか種ができません。そう考 えると、朝顔などは2倍、3倍以上に増加していくと思います。

     銀 行 2倍 にはならないけど入れておくと利子がつく(今はほとんどないけど)自由に使うこともできる。使ったら利子がつく割合も下がるというところがこのふしぎなた ねと似ていると思いました。

     DNAの数(細胞分裂)

    

     ね ずみ算、細胞分裂、トーナメント表、レンサ球菌

     人 類の子孫の増え方、生物全体

     ネ ズミ講、チェーンメール

     ね ずみ、ごきぶり、くも、うさぎ、年齢と勉強に対する意欲

     ネ ズミ、細胞、有名大学進学率、流行もの、酸素最適温度

     詐 欺

 

課題(5)いろんな表 し方の長所・短所

やり方

長所

短所

     どのように変化した のか実感できる

     実際の状況を再現す ることで数を理解することができる

     視覚的に数をとらえ ることができる

     考察しやすい

     手間がかかる

     数が大きくなると非 常に面倒

     増減の様子がわかり やすい

     現実性がある

     実際の数の増え方と 近い感じで数を調べることができる

     一目で量がわからな い

     数が多くなると大変 (表現面積)

     見にくい(数の把 握)

     限られた範囲内でし かかけない

     数がどう増えていっ たかがわからない

樹形図

     一目で増えていく様 子がわかる

     分かれていく仕組み がわかる

     規則的な増え方なら よい

     実際にやると理解で きる

     数が多くなると書く のがしんどくなる

     数が多くなるとやや こしくなる

     きりがない

     図の意味がわからな い

     大きい数まで書いて いける

     鉛筆とノートだけな ら一番いい

     違いがよくわかる

     読みやすく整理する ことができる

     不規則な数の変化を 見るとき見やすい

     n分後何個あるのかわかりやすい

     計算をいちいちしな いといけない

     暗算が苦手な人は大 変

     項目が多いと表すの が大変

     桁が増えたくらいし かわからない

     まとめれる数でない と無理

     差が分からない

     1個間違えるとあと全部狂う

EXCEL

     かなり楽

     計算もしてくれる

     簡単に数を知ること ができる

     8桁を越えると上2桁で表すので十分

     速く、より正確に数 を知ることができる

     多くても計算可能

     やり方がわからない とできない

     どうしてその数に なったのかの仮定がわからない

     プログラムが面倒

     答えが大きすぎてよ くわからない

面積

     自由に設定できる (表現面積)

     場所が必要

     個体数を11個数えられない

棒グラフ

線グラフ

グラフ

     一目で増減がわかる

     規則的な数の変化を 見やすい

     (円グラフ)は割合 などに向く

     値のふり幅が広いと 書きづらい

     場所が必要(表現面 積)

     数を細かく表現でき ない(現実性)

     一つ食べたなど細か いことを書きにくい

     大きな数と小さな数 を共存させることができない

・両方使って表した方がわかりや すい




[I] この式を一般的に表すと?

[II] 正午に1瓶が一杯になり、新たに3瓶(つまり計4本)がいっぱいになる時刻?

[III] 初めの1瓶は資源が底をつき、新たな3瓶に移り住み、いっぱいになる 時刻?  これって、ちょうど3本分? それとも3本から溢れる時刻?