4-2      フィボナッチ数列

4-2-1    ネズミとウサギ

次の問題は、江戸時代に寺子屋で使われていた教科書「塵劫記ª」に載っていたものです。

問題1:正月に、ねずみ父母いでて、子を12匹産む。親とともに14匹にな る。このねずみ2月には、子もまた子を12匹づつ産むゆえに、親ともに98匹にな る。かくのごとく月に1度づつ、親も子も、また孫もひ孫も、月々12匹づつ産 むとき、12月にはなにほどになるぞ。

 

<閑話休題 RatMouse2

 

ところかわって、1202年イタリアのピサの町に住むフィ ボナッチは、次のような問題を考えました。

問題2:オス、メス1つがいの親ウサギが、毎月1つがいの子 ウサギを生む。子ウサギは1ヵ月すると親になり、2ヵ月目から毎月、子ウサギを生み続ける ものとする。1ヵ月目に、生れたばかりの1つがいの子ウサギがいるとすると、ウサ ギはどのように増えていくか。

 

◆目標

(1)フィボナッチ数列が身近にあること を知る

(2)フィボナッチ数列がどんな数列かを 表現することができる

(3)身近にある現象の中から、フィボ ナッチ数列を見つけることができる

 

◆課題

(1)ネズミは、2,3,4月に何匹 になるか。また、1年後は何匹か。

(2)ウサギは、5ヶ月目に何 つがいるか。また、1年後には、何つがいか。

(3)ネズミやウサギが増える様子を表し てみよう。

(4)次の4つの課題に 挑戦しよう。

(5)まとめ・感想

4-2-2    畳と何とかは新しい 方がよい

問題12×1の畳畳で、下図のような部屋を敷き詰められる?

部屋1部屋2                        

 

 

 

 

問題22×nの長方形の形をした部屋があります。2×1の畳を敷き つめる方法は何通りある?

方眼

◆課題

(1)問題1を考えよ う。また、その理由を考えよう。

(2)問題2n=1,2,3,4,5,…のとき、すべての場合を図に描こう。

(3)問題2n=10のとき、何通りの敷き詰め方があるか。

(4)問題2の隠された秘密は何か。

 


4-2-3    階段を上ろう

問題1n段の階段があります。1段上がるか、1段とばしで 上がることにすると、何通りの上がり方がありますか。

階段

 

問題2n段の階段があります。1段上がるか、1段とばしで 上がるか、2段とばしで上がることにすると、何通りの上がり方がありますか。

階段

 

◆課題 

(1) 問題1:n=1,2,3,4のとき、どんな上がり方があるか、図に描こう。

(2) 問題1:n=10の とき、何通りの上り方があるか。

(3) 問題2:n=1,2,3,4のとき、どんな上がり方があるか、図に描こう。

(4) 問題2:n=10の とき、何通りの上り方があるか。

(5) 階段の上がり方の数に隠された 関係を表そう。


4-2-4    レンズ

『写す人 第二回 「写真用レン ズをつくる人たち」 富士写真光機を訪ねて』§より引用

●片桐:ご存知のように、ズームレンズは(単焦点レンズに比べて)構成枚数が多いです ね。枚数が増えると光のロスも増えていく。これはフィルムや撮像素子の感度が低くなるのと同じことです。

●大野:与えられた光をどれだけ 有効活用するか。それには空気とレンズの境界面で発生する光の反射を減らさなければいけない。これがEBC¨の出発点です。

通常、空気とガラスの境界面で起きる反射は約4*という。つ まりガラスの中に入る光は96%である。たいした損害ではなさそうに思えるが、この反射は光の出口である反対側の面で も起きる。ご家庭の窓ガラスを抜けた光は、ガラス自体が完全に無色透明だとして(これはまずありえない)最初の量のほぼ92%になる 計算だ。

屈折 画質 を追求した写真用レンズは複数のエレメントで構成されるから、複利計算で増加する損失は無視できないほど大きい。わりあい単純な4枚構成のレ ンズにしても、ノンコートで造れば合計8回の反射によって光量は約72%まで低下するのだ。しかもマイナス28%の光は どこかに消えてしまうわけではなく、画質劣化の原因になる。

*注)これはごく一般的なガラス素材の値。反射率はガラスの種類や光の波長によって異な る。

 

◆課題

(1)図に、反射する光を書き込もう。

(2)2枚のガラス板を合わせます。光を 当て、1回だけ反射するのは、何通りの道筋がありますか。

(3)(2)で、2,3,4,・・・・,10回反射 する場合を求めよう。

(4)2枚のガラス板に隠された秘密を表 そう。

 

4-2-5    ハチの家系図                                   

ハチとアリってどんな虫§より引用

ハリナシバチのくらし方 

ハリナシバチは、ミツバチに近いハナバチのなかまで、ミツバチとならんでもっとも複雑な 社会生活を進化させたグループです。女王と働きバチからなる集団生活を営み、繁殖するときには巣分かれをおこないます。

ハリナシバチは現在世界で 400 種以上が知られています(ミ ツバチは世界で 8 種です)。ハリナシバチの分布は、中南米・東南アジア・オーストラリア・アフリカの熱 帯・亜熱帯を中心とする地域に限られています。ハリナシバチは熱帯の植物の授粉にたいへん重要な役割を果たしており、熱帯林の生物多様性を保つうえで欠か せない存在です。

ハリナシバチのなかまは、多くが樹洞などの空洞に巣をつくります。しかし、木の枝の上、 木の根元、土の中に巣をつくるもの、さらに、アリやシロアリがつくった巣の内部の空洞を利用するものもいます。巣のなかみは、野外の植物から集められた樹 脂と働きバチが分泌したワックスの混合物でできています。樹脂には抗菌性があり、入口をこれでかためることでアリの侵入を防ぐのにも役立っています。巣の なかは、周辺部に蜜や花粉をためこんだ壷、中心部に育児をする部屋がつくられ、支柱で相互に固定されています。

ハリナシバチでは、巣分かれに際して新しい女王が元の巣を出て、働きバチが新しい巣の場 所へ元の巣から巣の材料を運搬します。この運搬が約1年にわたってつづいたという報告もあります。

ハリナシバチのなかには、働きバチが産卵するものがあります。働きバチはメスですが、オ スと交尾しておらず、産む卵はすべて未受精卵です。ハチの未受精卵はオスになり、受精卵がメスになるので、働きバチが産んだ卵は孵化してもすべてオスで す。女王バチだけが働きバチや次の女王を産むことができます。働きバチが産む卵を女王バチが食べてしまう種類もいます。ハリナシバチの産卵習性はたいへん 多様で、まだまだわからないことがたくさんあります。奥深い熱帯林のなかで、彼らは今もその謎を守りつづけているのです。    (須賀 丈 長野県自然保護研究所)

 

◆課題 

(1)女王バチ、働きバチ、オスバチの親 は、何か。

(2)ある1匹のオスバ チの家系図を書こう。

(3)10世代前にはハチは何匹いるか。

(4)ハチの家系図の秘密を表そう。




ª吉田光由{みつよし}は『塵劫記{じんこうき}』を寛 永41627)年に著わし、割算・掛算を基礎とし、級数・根{こ ん}・体積・幾何図形までを平易な日常的例題で説く。数学・そろばん普及に功績した。

http://www.melma.com/mag/41/m00010441/a00000305.html

2 Ratとは「げっ歯目・ネズミ科・クマネズミ属・ラット」 で、「どぶネズミ」のこと。体重200500gで、系統によっては700g以上になるネズミ。一方、mouseとは「げっ歯目・ネズミ科・ハツカネズミ属・マウス」 で、「ハツカネズミ」のこと。体重は2535gで大きくなっても50g以上にはならず、ラットと比べて小さいので扱いがとて も容易です。

 さて「ハツカネズミ」とは何が二十日なんでしょう か? じつはマウスの妊娠期間を指しているのです。マウスは妊娠して二十日で45匹の赤ちゃんを生みます。そして、赤ちゃんが赤ちゃん を産むまで成熟するのに30日しか要しません。さらに子供にお乳をあげてる間に妊 娠でき、離乳と同時に出産する事も可能です!  いや〜ねずみ算式とはよく言ったものですね。でも、この世代交代の早さこそ動物実験に使われる一番の理由 で遺伝学、腫瘍学、免疫学、感染病学、微生物学、薬理学、発生学など実験動物としてもっとも多くのデータが報告されています。http://www14.cds.ne.jp/~ryouichi/rat/rat.html

§ http://www.ammo.jp/monthly/0302/06.html

¨ EBCとは、Electron Beam Coatの略で多層反射防止膜コーティングのこと

§ http://www.nat-museum.sanda.hyogo.jp/insect-museum/guide/sec-4.html