πの話

ここでは円にまつわる話をしていくとする。

◎六角形=円!?

一時期、小学校の新課程に『円周率=3』を導入されるという事が起こりかけた。(間髪入れずに取りやめになったが。)見たところ小数点以下が省かれ、とても計算しやすそうに見える。昔の計算の大変さを思い出すと大歓迎の事態ではあるが、落ち着いて考えると0.14の差ってのは結構大きいのではないのか?てか、かなり誤差が出るのではないのか?ちょっと計算してみよう。ここでは アルキメデスに習って 円に内接する正多角形の周囲長から円周率を求めてみよう。

 

と、角数を多くしていくにしたがって徐々に円に近づいていきます。

正多角形の角をnとすると、周囲長は「nCOS90°―180°/n」で求められます。

(勿論nは3以上)三角関数覚えてますか?

 

 周囲の長さ 

 正三角形 

2.598

 正方形 

2.828

 正五角形 

2.939

ところで、正六角形になると、「COS60°=1/2」だから・・・・・・

正六角形=3!・・・アレッ、これって円周率=3と一緒なんじゃ・・・ってことは新課程企画、明らかダメじゃん。考えた奴どんな頭してやがるんだか・・・

ちなみに「円周率=3.14」の円と「円周率=3」の円を図にして対比さしてみると、

「円周率=3.14」の世界

「円周率=3」の世界

参考:http://binoculars.at.infoseek.co.jp/zakki9.html(上記の図全て)

言うまでも無く、歴然とした差がありますね。文部省がさっさとミスに気付いてくれてありがたいです。

ココで当たり前の問題を証明してみる。

円の長さは直径に(または半径)に比例する。l=2r・k@

円の面積は、半径の平方に比例する。S=r・r・kA

比例定数はともにπ(円周率)である。k@=kA=π

これを証明したいと思う。当然と言われれば当然ではあるが、当然を証明するのは大切な事なのでやってみようと思う。実際やってみました。

ムリでした。何も閃きませんでした。

唯一、思いついたのは正確ではないがギリギリまで測れる方法を思いつきました。

粗い方法だがやってみようと思います。

方法:まず、円を二つ用意し、二つとも16等分し、円周をつなげたままひろげて柵状の図形を作ってドッキングさせます。(分かりにくいと思うので下の図を見てほしい)これでほぼ『長方形』ができます。その辺は円弧を繋げているので「円弧線長方形」と呼ぶ事にします。その面積は、二つの円を合わしているのは2Sです。円を32等分しても、同じように円弧線長方形ができますが、その面積は2Sである。64等分、128等分、・・・・・・と細かくしていけば、得られる円弧線長方形は、2Sのまま、どんどん本当の長方形に近づいていきます。100万等分近くにでもならば、円弧線は直線に等しいくらいになり長方形としてみなす事が出来るでしょう。それを「極限長方形」と言う事にすれば、各円弧線長方形の面積は2Sのまま、極限長方形になるので、極限長方形の面積は2Sです。横の長さは、円周=2πr、縦の長さは、半径=rとみなす事が出来るから

2S=2πr・r すなわち S=πr2 

となり、テーマが証明できました。当たり前の事を証明するのは、かなりややっこしく、大変手間ですね。

もう一つの方法

円周の長さを測る、この方法です。紙の上に円周を描き、円周に沿ってピンを突き刺します。ピンの個数は多ければ多いほどよいのです。多いのはよいのですが片寄らないように出来るだけ均等に突き刺すのを心がけます。次にピンの周りに糸を巻きつけ一回りしたところで、それに要した糸の長さを図ればよいのです。

この後は簡単な方法があるのですがここはあえて数学的に。解り難いので下の図を参考に。

三角定規の直径の頂点Aを円周上に置き、直径をはさむ二辺と円周との交点をBCとしてAB,ACの長さを測ります。そのとき、ピタゴラスの定理により

BC2AB2AC2なので、直径BCの値が求められます。

これは一般的によく言う「直径の上にたつ円周角は90°である」という定理を応用したものです。これによって円周の長さを求められました。(大体だが)後はこれを繰り返して統計をとると言う気の遠くなるような話を・・・・・・

円にまつわるマメ知識

円周率は現在、およそ一兆2000億桁まで計算されているらしい。

それだけ計算すればなかなか面白い数の並びが見られる。

5321768万1704桁目〜11桁⇒01234567890

763桁目⇒999999 etc・・・

現在の円周率暗記世界記録は当時21歳の日本人で、その数なんと

4万2000桁、読み上げるのに9時間。すごいと言うより恐ろしい。次はその暗記力と9時間持続した忍耐力をもっと別のことに使ってくれ。

と、思っていたら・・・・・・千葉県茂原市のボランティア原口證さん(58)が25日、円周率の暗唱の世界記録に挑み、これまでの記録を更新する5万4000けたを暗唱した。

これまでの世界記録は日本の大学生が1995年に樹立した4万2195けた。原口さんの暗唱にかかった所要時間は約8時間45分で、3台のビデオカメラで録画しており、近くギネスに記録申請する。

このギネス記録、実はこれまで「もじぴったん」のゲームデザインを作った後藤裕之さんがお持ちでした。学生時代にテレビ番組の企画で挑戦したときに出した42.195桁だったんです。今回、原口さんはその記録を1万以上上回りました。

なお、会場として使っていた公民館の閉館時間(2100)を過ぎても一向に終わる気配がなかった事からストップがかかり、54.000で終了を余儀なくされたんだそうです。

円周率1000万桁の数字がダウンロードできるトコ

http://www.l.coralnet.or.jp/kusuto/PI/PI-data/index.html

参考文献:http://www.l.coralnet.or.jp/kusuto/PI/PI-data/index.html

     http://binoculars.at.infoseek.co.jp/zakki9.html