円周率πが3.05以上であることを証明せよ。

表題はいつかの東大の入試問題で出たもので、正答率などはわからないけどなんとなく面白そうなのでこれにしてみた。

まず、円周率というのは直径/円周というものなので、他の正何角形というものの円周率にあたるものが3.05を上回った時点で円周率πは3.05以上であるといえると思う。したがって、今回は角数が少ないものから計算してみる。

最初に正方形でやってみる。

一辺の長さをxと置くと、正方形の直径=対角線の長さは、

中の三角形の斜辺の長さである。

したがって、中の三角形は直角二等辺三角形だから辺の比は、1:1:√2

よって斜辺(直径)は

 √2x となる。

単純に円周4xをこれで割ると、

 4x/√2x=√16x/√2x=√82.828427となる。

やはり、正方形ではダメだった。

なぜ、やはりダメだと言うのかというと、ただ単に四角はどう頑張っても円には見えないからだ。そう考えると六角形や八角形は円に見えないこともないと思うので期待が持てるわけである。

次に正六角形でやると、

 正六角形の直径は、真ん中の長方形の短辺の長さ+残りの三角形の高さy+yなので、

 まず、真ん中の長方形の短辺の長さは図からこの六角形の一辺の長さと一緒なのでxとなる。

 次に、残りの三角形の高さは、半分に割って直角三角形にして考えると、

この直角三角形は、一番小さい角(図の矢印部)が30度の直角三角形なので辺の比は、

高さ:底辺:斜辺=1:2:√3

 よって高さは、1:2=y:xから、x/2

したがって直径は、

 x+x/2+x/2=x+x=2x

円周6xをこれで割ると、

 6x/2x=

惜しい!! あと少し。

あれ?円周率が3?どこかで聞いたような・・・そういえば最近の小学生は円周率を3と習っているらしい・・・あれ?六角形と一緒ですね()

まったく、こんなことだから最近学力低下が指摘されてるんだ。だいたい、円周率が3でも3.14でも計算のダルさは大して変わらないって!! したがって、やっぱり円周率は3.14でいいと思う。というか3は馬鹿にしすぎだと思う。

さて、六角形ではまたダメだったので次は八角形でいきましょう。

矢印の部分が直径なので、

この図のようにしてかんがえて、まず四角形からはみ出している部分を求めるには、直角三角形の高さyを求めればよいので、

 y=sin22.5°×x=0.38265x

はみ出している部分全体では、

 0.38265x×2=0.7653x

となる。

次に残りの四角形の中の長さを求めるには、直角三角形の底辺の長さz×2を求めればよいので、

 z=cos22.5°×x×2=1.8477x

となる。

この二つを足して、

 0.7653x+1.8477x=2.613x

円周8xをこれで割って、

 8x/2.163x=3.061615

ついに、3.05を超えました。したがって、円周率は3.05より大きいと言える。

                                 証明終わり

他にも、積分を用いて証明する方法があるそうなのですが(というかこっちの方が一般的?)、僕は積分が出来ないので今回の方法で証明してみました。参考に積分編も載せます。

 Isaac Newton (ニュートン先生)(1642-1727)がこの式で16桁まで求めた。らしい・・・

ちなみに全く理解できない(笑) これが積分なのかどうかもよく分からないですが、HPにそう書いてあったからそうだと思います。

これがあったページ

     http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/_pi_small.html

考察

これ以外にもいろいろな方法があるが、とにかく円周率は3.05以上である。それと、終わってから気がついたのですが直径の求める場所が間違っていたかもしれない。でもまあ、長めになっただけなので問題ないと思う。

感想

 遅くなりましたがテスト中の休日を一日使っちゃったレポートの完成品です。こんな感じで証明したのですが、三角関数さえ忘れていた僕にとってこれはかなりの難作業でした。でもなんか久しぶりに数学っぽいことができて面白かったです。