宝くじの上手な買い方

1 宝くじについて

今回、取り扱う宝くじは2005年2月14日から始まるグリーンジャンボ宝くじを取り扱う。宝くじ1枚の価格は300円、販売枚数は1億9000万枚。当選金額と番号は以下の表のようになっている。21474297の当たりくじがあり、38枚の同じくじがある。さらに当たりが被っている場合(012345という番号のくじを買った場合、2等が012345という番号で6等が5という結果が出た場合は2等の金額がもらえる)高額のほうをもらうことができる。

等級 金額 本数 番号
1等

1億5000万

38本 組数と番号がすべて一致
1等の前後賞

2500万

76本 1等の組数と同じで前後の番号
1等の組違い賞

10万

3762本 1等と同じ番号で組違い。
2等

1000万

38本 組数と番号がすべて一致
3等

100万

380本 組数の下1桁が同じで組数はすべて一致。
4等

10000

57万本 番号がすべて一致
5等

3000

190万本 2桁が一致
6等

300

1900万本 1桁が一致
愛・地球博賞

      30万

3800本 3桁が一致

参考ホームページ http://www.takarakuji.mizuhobank.co.jp/

2 宝くじの期待値

期待値とは1枚の宝くじを買ったときに期待できる賞金である。これを計算する。

1億5000万*38/1億9000万+2500万*76/1億9000万*10万*3762/1億9000万+1000万*38/1億9000万+100万*380/1億9000万+10000*57万/1億9000万+3000*190万/1億9000万+300*1900万/1億9000万+30万*3800/1億9000万

=141.98

となるので1枚を買ったときに期待できる金額は141.98円となる。大体想像通りであるが、グリーンジャンボ宝くじの期待値は購入価格よりも安いことになる。

3 宝くじの買い方

 この期待値が低い宝くじでも買い方を変えることによって、期待値が変わるかもしれない。それを考えていく。

 まず、宝くじにはいくつかの買い方がある。宝くじを100枚買うとして、考えてみる。

1つ目は数字をすべてバラバラに(隣り合う数字がない)買う買い方である。この場合は1枚の宝くじに対して、142円の期待値があるので100枚に対する期待値は以下のようになる。

141.98*100=14198

しかし連番(1〜100のように数字が連続している)で買う場合、期待値の計算は先ほどした計算と異なってくる。それは6等が確実に10枚当たるからである。これによって計算は以下のようになる。

1億5000万*38/(1億9000万−1900万)+2500万*76(1億9000万−1900万)/+10万*3762/(1億9000万−1900万)+1000万*38/(1億9000万−1900万)+100万*380/(1億9000万−1900万)+10000*57万/(1億9000万−1900万)+3000*190万/(1億9000万−1900万)+30万*3800/(1億9000万−1900万) *90+300*10

14198

 となり期待値どの買い方をしても変わらなかった。

 

次にそれぞれの当選等級ごとにそれぞれの買い方で当選する確率を見てみる。○を100枚バラバラに買った場合(1、2、3のように番号が続かないものとする)、●を100枚連番で買った場合とする。1億9000万をaと置く。全事象a*(a-38)*(a-38*2)*…*(a-38*99)をAと置く。この求め方は、まず1枚買うのでa、2枚目からは同じ番号はなくなると考えて、a-38、そして3枚目、4枚目、…100枚目と繰り返して求める。

1 1等の当選確率

  ○、●は同じ確率になる。

  1-(a-38)*((a-38)-38*1)*…*((a-38)-38*99)/A=0.0002

  この式はまず、(a-38)*((a-38)-38*1)*…*((a-38)-38*99)/Aから1等が当たらない確率を求めている。a-38で1枚目が1等にならない番号のくじを買う、(a-38)-38*1で2枚目が1等にならない番号のくじを買う。a-38をしているのは1枚目を買ったくじを引いているからである。1等は38枚あるので38を引いている。これを3枚目、4枚目、…100枚目と繰り返している。

よって確率は0.0002になる。

2 1等の前後賞が当たる確率

○ 1-(a-76)*((a-76)-76*1)*…*((a-76)-76*99)/A=0.00102989

1等を求めるときと同じように前後等が当たらない確率を求めて1から引いている。a-76で1枚目が前後等にならない番号のくじを買う、(a-76)-76*1で2枚目が3等にならない番号のくじを買う。a-76は1枚目を買ったくじを引いているからである。前後等は76枚あるので76を引いている。これを3枚目、4枚目、…100枚目と繰り返している。

よって確率は0.00102989となる。

● まず買った宝くじ100枚を番号が小さい順から1〜100とつける。

パターン1 番号2〜99に1等賞がある場合

 0.0002*98/100*2=0.000392

  1等が当たる確率は0.0002である。それが100枚買ううちの98までの中のどれかにあるということなので98/100を掛ける。さらに前後賞は必ず2つ当たるので2を掛けておいたものが確率となる。

 パターン2 番号1、100のどちらかに1等がある場合

  0.0002*2/100=0.000008

今度は100枚のうち1か100にしかないので2/100を掛けている。

 パターン3 1等が買った100枚に含まれていない場合

  (2/a/38-100)*38=0.0000152

買った100枚以外で特定の場所に1等がくる確率を求める。まず宝くじは同じくじが38枚あるので、全部の枚数を38で割っておく。そして買った100枚のところでは当たらないので100を引く。前後賞が当たるのは、番号1、100の前と次の数字の2箇所なので2で割っている。さらにそれが38通りあるので38を掛けた。

 よってこのすべてのパターンを足して

  0.000392+0.000008+0.0000152=0.0004152

確率は0.0004152となる。

3 1等の組違いが当たる確率

○ 1-(a-3762)*((a-3762)-3762*1)…((a-3762)-3762*99)/A=0.094317416

1等を求めるときと同じように前後等が当たらない確率を求めて1から引いている。a-3762で1枚目が前後等にならない番号のくじを買う、(a-3762)-3762*1で2枚目が3等にならない番号のくじを買う。a-3762は1枚目を買ったくじを引いているからである。1等の組違いは3762枚あるので3762を引いている。これを3枚目、4枚目、…100枚目と繰り返している。

よって確率は0.094317416となる。

500万をbとする。

(1-(b-1)*((b-1)-1*1)*…*((b-1)*1*99)/b*(b-1)*(b-1*2)*…*(b-1*99))*38=0.0007676

100枚は38通りの500万枚の組の中の1つになる。これよりb-1で1枚目が1等の組み違いにならない番号のくじ、2枚目、3枚目と続いていく。そしてそれが38通りあるので38を掛けた。全事象の求め方は1億9000万を5000万に変えただけである。

よって確率は0.0007676となる。

4 2等が当たる確率

○、●は同じ確率になる。さらに本数、当たる条件が1等の時と同じなので確率はどちらの場合も0.0002になる。

5 3等が当たる確率

○、●は同じ確率になる。

1-(a-380)*((a-380)-380*1)*…*((a-380)-380*99)/A=0.009069294

1等を求めるときと同じように3等が当たらない確率を求めて1から引いている。a-380で1枚目が3等にならない番号のくじを買う、(a-380)-380*1で2枚目が3等にならない番号のくじを買う。a-380は1枚目を買ったくじを引いているからである。3等は380枚あるので380を引いている。これを3枚目、4枚目、…100枚目と繰り返している。

よって確率は0.009069294になる。

6 4等が当たる確率

○、●は同じ確率になる。

1-(a−57万)*((a-57万)-57万*1)*…*((a-57万)-57万*99)/A=0.999999959

やり方は1等を求めるときや3等を求めるときと同じである。式の意味も枚数のところを57万枚にかえただけである。

よって確率は0.999999959になる。

7 5等が当たる確率

○、●は同じ確率になる。

1-(a-190万)*((a-190万)-190万*1)…*((a-190万)-190万*99)/A=1

式の意味、求め方は1等を求めるときと同じで、枚数を変えただけである。

よって確率は1となって100枚買えば確率的には1枚は当たると出た。

8 6等が当たる確率

○ 1-(a-1900万)*((a-1900万)-1900万*1)…*((a-1900万)-1900万*99)/A=1

式の意味、求め方は1等を求めるときと同じで、枚数を変えただけである。

よって確率は1となって、100枚買えば確率的には1枚は当たると出た。

● 連番で買うので、0〜9までの下1桁がそれぞれ10枚ずつあることになる。だから必ず10枚は当たる。

よって確率は10である。

9 愛・地球博賞が当たる確率

○、●は同じ確率になる。

1-(a-3800)*((a-3800)-3800*1)…*((a-3800)-3800*99)/A=0.095251024

式の意味、求め方は1等を求めるときと同じで、枚数を変えただけである。

よって確率は0.095251024である。

すべての確率を足すと、まずバラバラに買った場合は3.20006758となり、次に連番で買った場合は3.1059031(6等が10枚当たると考えないで1つ以上は当たると考えてこの値をだしている。6等が確実に10枚当たると計算すると連番の確率は12.1059031となる)となった。(注意…計算が間違っている可能性があります。だから数値が結構ずれたのかもしれません。しかしこれ以上考えてもわからない上に、先に進めないのでこれから先はこの結果を元に考えていくことにします。すいません。)

この結果により宝くじ1枚を買ったときに当選する確率も求めることができる。どちらも約3なので、

3/100 =0.03

よって宝くじ1枚を買ったときにどれかの等が当たる確率は約0.03となる。

4 考察と感想

1 この結果になった理由

 バラバラに買った場合と連番で買った場合に差が出たのは、求め方が違う前後賞と1等の組違いで差がでたと思われる。

その理由は、まず前後賞はバラバラに買った場合は同じ番号を買う可能性があるが、連番の場合はそれがない。だからバラバラのほうが高くなったと思う。

次に1等の組違いの場合はバラバラで買った場合は0から99の組の中から1等と同じ番号を買う可能性があるが、連番の場合は1つの組の1等と同じ番号しか買う可能性がない。さらにその組で1等があたった場合、1等の組違いが当たる可能性はなくなる。よってバラバラのほうが高くなったと思う。

2 結果から考えるよい買い方とは

 この結果をもとに宝くじを買うときにどのような買い方をすればいいのかを考える。

 まず、確率的に見ると断然、連番で買ったほうが当たる確率は高い。しかしこれは6等が必ず10枚当たるからである。それを考えないで見てみるとバラバラの方が高額の賞金を狙えるのである。

 さらに狙いたいタイプ別に考えた。それぞれ100枚買うとする。

タイプ1 当たっても当たらなくてもいいとき

→この場合はバラバラに買ったほうが高額を狙えるからである。

タイプ2 お金が少しでもいいから返ってきてほしいとき

→この場合は連番で買ったほうが、6等が必ず10枚当たるのでその分は確実に返ってくる。

タイプ3 高額を狙いたいとき

→この場合はバラバラで買ったほうが確率的に高い。これは0〜99までのすべての組を買える上、同じ番号のくじも買えるので幅広く買うことができる。逆に連番の場合は0〜99までの1つの組しか買えず、同じ番号のくじも買うことができないからである。

以上のことよりそれぞれの利点がわかる。結論はバラバラで買ったほうが、高額が狙えると思う。しかし確実性をとる場合は連番の方がよい。ただ確率の差が出てくるのは、高額の当たる確率である。つまりこの確率はほとんど変わらないのである。よってどちらの買い方もそんなには変わらないと思われる。その小さな差も含めた結論がこれということである。

3 感想

 この確率を調べてみて、はじめにしていた予想と少し異なった結果に驚いた。6等を考えない確率がバラバラの方が高くなったからである。考えるまではバラバラで買った場合は前後賞が当たらなくて確率が悪いと思っていた。しかし宝くじには同じくじが38本あることがわかり、そこから考えることによって納得することができた。

 唯一残念に思ったことは計算があっているのかがわからないことと、計算がややこしすぎて値があっているかもわからないということである。もしかしたらこの結果はぜんぜん違っているかもしれない。このやり方が正しいというのがわかればいいと思う。

 確率は違っていたもののほとんど差がなかったことから、やはり宝くじはうまく作られているな。とつくづく思いました。