相似な三角形

はじめに

「数学する」と，思わぬところで教材に出会うことができます．これもその一例です．この教材は，SKETCHPADを使って，中学2年生の3学期で実践しました．

レシピ1

1. 正三角形ABCがあります．△ABCの各辺の中点を結んで三角形を作ります（左上図）．
2. 1.でできた三角形を点A中心に1/2縮小して，三角形を作ります（右上図）．
3. 2.でできた三角形を点A中心に1/2縮小して，三角形を作ります．
4. ･･･このように，新しくできた三角形を点A中心に1/2縮小して，三角形を作ります．
5. この操作を繰り返すと，どのような図形ができるでしょうか?

レシピ2

1. 正三角形ABCがあります．△ABCの各辺の中点を結んで三角形を作ります．
2. 1.でできた三角形を点A,B,C中心にそれぞれ1/2縮小して，三角形を作ります（左上図）．
3. 2.でできた三角形を点A,B,C中心にそれぞれ1/2縮小して，三角形を作ります（右上図は，点Aについてのみ縮小したものです）．
4. ･･･このように，新しくできた三角形を点A,B,C中心にそれぞれ1/2縮小して，三角形を作ります．
5. この操作を繰り返すと，どのような図形ができるでしょうか?

実践報告（1997年1月〜2月）

1. 1/9…自作テキストを見ながら，SKETCHPADの操作の練習．初めてでも，すぐに使えるようになり，円や線分でドラえもんやサザエさんができた．図形が動くことに注目して欲しかったが，これは次の時間．
   
2. 1/10…SKETCHPADでの作図．見た目には正三角形でも，動かすと不等辺三角形になってしまう．SKETCHPAD流の作図が少し難しい．ほんの数組は，円をうまく使って長方形を作り上げたが，次の時間もこの続きだ．
   
3. 1/16…SKETCHPADでの作図2．できるかどうかちょっと不安だったが，「正三角形や平行四辺形の作図を応用するよい」のヒントで，正六角形や直角三角形などが描けた．動かしても作図できているかをきちんと確認できた．今日の成果をレポートとして提出．
   
4. 1/17…五心の作図．SKETCHPAD流の作図が分かってきたので，案外たくさんの班で作図できた．もちろん，三角形を変形すると内接円でなくなったり，円を先に描いてから三角形を描いて「外接円」といったりする班もあった．五心と三角形の位置関係を次の時間も調べる．
   
5. 1/23…五心の作図2．三角形を変形して，五心が三角形の内部・周囲・外部のどこにくるかを調べる．「理由も考えるんだよ」といっても，難しかったようだ．数学の証明は，パターンにはまっているのが多い．
   
6. 1/24…とうとう，相似な三角形（レシピ1）．はじめはSKETCHPADを使わずに，課題の図形を描く．「点A中心に1/2縮小する」の意味が分からないようなので，1点だけ例を示すと，次々に予想できた．SKETCHPADで作図して三角形を変形し，感じたことや気がついたことを書かせた．
   
• 三角形は，この中ではてしなく続く．
• 白も黒も，すべての三角形は相似である．
• 狐の顔がいっぱいできた．
• ずっと続けていくと「連だこ」のような感じ．
• 三角形を1/2にすると，面積は1/4になるんだなぁ．
• とても不思議な図で，美しい．黒と白が生み出す技妙な色彩が美しい．
• 美術の一点透視図法で，道に描かれた三角形が遠くになるにつれて小さくなるように見えた．
• なんだか，飛行場の滑走路を地面に顔をのせてみてるみたいな気分やった．
• 点を動かして，もとの三角形ABCを大きくすると，グレーの相似の三角形も同じように大きくなるし，…斜めにしたらグレーの三角形も斜めになるし…，とにかく，グレーの相似の三角形は，大きい三角形ABCのまねをするんです．
• △ABCと△DEFの重心は同じ．
• みんなが動くので，何か踊りを踊っているみたいで，笑いを誘う動きをする．
• 相似の相似は相似である．
• 数学的でなんとなくいい幾何学的な図形だと思った．
  
7. 1/30…念願の相似な三角形（レシピ2）．はじめの予想では，問題の意味をつかみ切れていない生徒が何人かいた．その後，実験を始めるが，自分の予想に合わせた実験になってしまった．生徒の勘違いを修正して，実験を続けて不思議な図形を観察させた．最後は，NHKの「フラクタルが新しい世界をひらく」のはじめの10分を視聴して，未知の世界が続くことを暗示して終わる．
• 三角形を縮小すると，周りに3つ三角形ができる．これの繰り返しだと思う．
• ありの大群が押し寄せてきたみたいになって，気持ち悪かった．
• どんどん子どもが生まれていったみたいで，楽しかった．
• 時間と根気と視力さえあれば，永遠にできると思う．
• 永遠に続き限りなく面積は小さく数は多く，またもとの図形と相似のまま続いていく．もっともーっと小さくしてみたかった．
• やってることは，簡単なことなんだけれども，結構面白いです．
• フラクタルは僕の興味をすごくそそった．
• 1/2を1/3という縮尺にすると，また違った感じになって面白いんじゃないかと思う．
• 夏休みのレポートでN君がフラクタルが相似を作った延長だったとことにびっくりした．
• 人間の頭の中での話で，現実には無理．