相似

1996年の夏休みの宿題は、相似に関することの自由研究だった。2年C組41名の中のお勧めベスト3は、次の3つです。

• 択捉島と沖縄島は相似か？　M.N
• 自然界の相似
• 関係と関係の相似　イカ

年度内には、作品を載せようと思っています。お楽しみに。
ちなみに下記の「螺旋」は、生徒がするレポートの参考になるように、書いたものです。

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螺旋（らせん）

自然が作る形は美しい． 「相似」といっても，意識していないとその中に見いだすのは難しい．「夏休みの課題」のシダの葉は，高校3年生の進路資料の表紙にあった緑の葉から思いついた．「これだ」そして「きれいだ」と思った．しかし，このシダの葉に相似を見出した人は少なかったようだ．ここでは，あえて触れないことにする． そこで，もっと単純で美しい相似を自然の中に見つけよう．それは，「螺旋」だ．

螺旋がいかに自然の中にあふれているかをまず示そう．

• ヒマワリや松かさの種の並び
• シダのつる，へちまのまきひげ
• オーム貝，巻き貝，アメリカン・クーズーの角
• パイナップル，サボテン，ネコヤナギの幹につく芽の並び
• タコの縮めた足の形，ムカデが死んだときの形，指紋のうずまき
• チョウの中舌の形，イソギンチャクの触角
• キリンの螺旋状の腸，肺魚の腸
• オニグモは螺旋で糸を巻いて網を張る
• 単細胞動物の滴虫類は球形をしているが，動くときはスクリューのような螺旋運動
• ウイルスやDNAは螺旋状に折り畳まれている
• 銀河系の形，水や空気の波の渦

「あっそれなら見たことがある」というものから「へーそうなのか」というものまで，実にたくさんある．

本当に，螺旋が相似だろうか？ ! ?

つまり，点Oを中心に点BはAを2倍，点CはBを2倍しているのだ．これで（ホントは，すべての点について調べないといけないけど）相似形であることが分かる．

実際，図の一部を2倍に拡大すると，もとの螺旋と全く同じになっていることが一目で分かる（重ねればよいが，紙の上ではうまくいかない）．この螺旋は自分自身と相似なのである．これを「自己相似」という．ただし，自己相似でない螺旋もあることに注意．

なぜ自己相似の螺旋になるのだろうか？

「種が成長していくときには，たいてい各部分は他とほぼ同じ比率となるように形を変えていく（Kappraff 1986）．おそらくだからこそ，自然には自己相似螺旋が頻繁に出現するのである．」

ということは，相似な形をつなげていけば，螺旋が描けるのではないか？　
では，カタツムリになったつもりで試してみよう．

となるように，次々と三角形を描いていく． とてもシンプルな方法で，ちょっと複雑に見える自然の螺旋を描くことができた．

神様がこの世にいるのなら，数学を知っていたのだろうか？　それとも，数学が神様なのだろうか？　数学を使って解明できることは，他にももっとあるに違いない．

参考文献 「コンピュータ・カオス・フラクタル」 クリフォード・A・ピックオーバー著

• 数学科