解法

図1-1

まず、図1-1のようにBと半径ｔの小円（オレンジ）の中心と半径$\frac{Ｒ}{２}$の大円（あお）の中心を結ぶと直角三角形ができるので、三平方の定理が利用できる。

よって、 \begin{align*} (R-t)^2=& (t+\frac{R}{2})^2+\frac{R}{2} ^2\\ R^2-2Rt+t^2=& t^2+Rt+\frac{R}{2}^2\\ t=& \frac{R}{6}\\ \end{align*}

次に、図のようにAと半径t’の小円（きみどり）の中心と半径Rの大円（き）の中心を結んだ三角形を考え、図のように$\theta$をおく。

図1-2

\begin{align*} \cos{\theta}=\frac{t'}{R-t'} \end{align*} また、図の三角形に余弦定理を用いると \begin{align*} (R+t')^2=& (R-t')^2+R^2-2R(R-t')\cos{\theta}\\ =& (R-t')^2 + R^2 -2Rt'\\ R^2=& 6Rt'\\ t'=& \frac{1}{6}R\\ \end{align*}

※江戸時代の人は三角関数を考えずに初めから上の二番目の式を考えていたそうです！