解法

点Cから円の中心を通る直線CEを引きます。そうすると、円の直径に対する円周角は直角になるので、三角形ACEは直角三角形となります。

また、弧ACに対する円周角の定理より、角CBHと角CEAは同じ大きさになります。

よって、角CBHと角CEA・角CHBと角CAE(直角)の二つの角が同じであるので、三角形BCHと三角形ECAが相似になります。

よって辺の比より、 \begin{align} BC:CH=CE:CA\nonumber\\ BC:CH=2r:CA\nonumber\\ 2r×CH=BC×CA\nonumber\\ 2r=\frac{BC×CA}{CH}\nonumber\\ r=\frac{BC×CA}{2CH}\nonumber \end{align}

※これは現代の数学の正弦定理になっている！